希尔密码（Hill Cipher），是运用基本矩阵论原理的替换密码，每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果mod26。用作加密的矩阵（即密匙）必须是可逆的，否则就不可能译码。只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。

简介

希尔密码是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。

每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果模26。

原理

希尔加密算法的基本思想是，将d个明文字母通过线性变换将它们转换为d个密文字母。解密只要作一次逆变换就可以了，密钥就是变换矩阵本身。

希尔密码是多字母代换密码的一种。多字母代换密码可以利用矩阵变换方便地描述，有时又称为矩阵变换密码。令明文字母表为Z，若采用L个字母为单位进行代换，则多码代换是映射f：Z→Z。若映射是线性的，则f是线性变换，可以用Z上的L×L矩阵K表示。若是满秩的，则变换为一一映射，且存在有逆变换K。将L个字母的数字表示为Z上的L维矢量m，相应的密文矢量c，且mK=c，以K作为解密矩阵，可由c恢复出相应的明文c·K=m。

在军事通讯中，常将字符（信息）与数字对应（为方便起见，我们将字符和数字按原有的顺序对应，事实上这种对应规则是极易被破解的）：

　　abcde…x y z

　　12345…242526

　　如信息“NOSLEEPPING”对应着一组编码14,15,19,12,5,5,16,16,9,14,7。但如果按这种方式直接传输出去，则很容易被敌方破译。于是必须采取加密措施，即用一个约定的加密矩阵K乘以原信号B，传输信号为C=KB（加密），收到信号的一方再将信号还原（破译）为B=KC。如果敌方不知道加密矩阵，则很难破译。

加密

第一步，设定加密矩阵为K=112-120113，即在希尔密码中设q=26，L=3，选取满秩3×3阶可逆矩阵。我们之所以取3×3可逆方阵，也是为了计算方便，相应的安全性就要低一些。

第二步，将信息14，15，19，12，5，5，16，16，9，14，7分为4个列矩阵：X1=141519，X2=1255，X3=16169，X4=1470，其中X中的“0”是虚设的，其目的是为了与列矩阵的行数一致。列矩阵的行数3和个数4完全依赖于加密后的信息所对应的数字的多少和加密矩阵阶数决定。

第三步，将信息加密。进行矩阵的乘法运算：Y1=KX1=112-120213141519=6716100；Y2=KX2=112-1202131255=27-244；Y3=KX3=112-12021316169=501675；Y4=KX4=112-1202131470=21035。加密后的新码为67,16,100,27,-2,44,50,16,75,21,0。Y中的35虽然是多余的信息，但要连同密码一起发给对方，对方在破解密码时要参与计算。

解密

第一步，求密匙矩阵K的逆矩阵。K可用Mathematica计算。即K=-614-3125-1-3。

第二步，再次进行矩阵乘法运算：X1=-614-3125-1-3671610=141519；X2=-614-3125-1-327-244=1255；X3=-614-3125-1-3501675=16169；X4=-614-3125-1-321035=1470。这样原来的信息编码为14,15,19,12,5,5,16,16,9,14,7。

第三步，对照编码表，即可获得对方发来的信息内容为“NOSLEEPPING”。